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項目名稱： 人工邊界方法與偏微分方程數(shù)值解
推薦單位： 中國科學院
項目簡介：
本項目屬于計算數(shù)學和科學計算研究領域，該領域的核心是偏微分方程數(shù)值解。本項目特別研究有廣泛應用背景的無界區(qū)域偏微分方程的數(shù)值解。區(qū)域無界帶來的本質困難使已有的許多計算方法難以滿足需要。本項目提出并發(fā)展了適于求解該類問題的人工邊界法、自然邊界元法及相關計算方法，建立了堅實的數(shù)學理論基礎，取得了一系列首創(chuàng)的研究成果。
本項目由余德浩、韓厚德共同完成。主要研究成果有：系統(tǒng)發(fā)展了求解各類問題的自然邊界元方法，特別對橢圓型偏微分方程得到了相當完整的結果；發(fā)展了各類人工邊界方法，給出了一系列高精度的人工邊界條件，并應用于科學和工程計算的許多領域；提出了邊界元與有限元的對稱直接耦合法；建立了自適應邊界元的數(shù)學基礎等。此外在超奇異積分計算，無界區(qū)域分解算法，低階四邊形非協(xié)調元的構造和應用，矩形網(wǎng)格下雙p次有限元的漸近準確后驗局部誤差估計，邊界積分--微分方程的數(shù)值解，變分不等式問題的邊界元法、奇異攝動問題的數(shù)值方法等相關方面也有首創(chuàng)的研究成果。曾獨立獲得中國科學院自然科學獎一等獎，作為第一完成人獲得國家教委科技進步一等獎等多項科技獎勵。
本項目凝聚了項目完成人近三十年的研究工作, 包括出版專著中、英文版及發(fā)表學術論文160余篇，其中被SCI收錄101篇。論著被他人引用987次，其中SCI他引685次，CSCD他引236次，國內外專著他引66次。本方向一些重要專著列專章引述。開創(chuàng)性工作經(jīng)受了長時間考驗，獲得國內外同行廣泛引用和高度評價，引發(fā)了大量后繼工作，并在科學和工程許多領域的計算中獲得成功應用。美、德、日等國著名專家評述該成果為"邊界元中國學派的標志"，"該方向最值得注意的論文"，"有限元與邊界元耦合的兩個基本方法之一"，指出余和韓"應作為DtN方法的創(chuàng)立者被提到"。美國Keller學派在公開書評中承認他們隨后發(fā)展了"類似"方法，表示因"中國學者的工作長期不為西方所知"，故他們"在西方獨立發(fā)展了DtN方法"。
主要發(fā)現(xiàn)點：
1. 核心發(fā)現(xiàn)點
首創(chuàng)與經(jīng)典邊界元法完全不同并有許多獨特優(yōu)點的自然邊界元法和人工邊界方法，提出了與有限元自然直接耦合的對稱算法，應用人工邊界上的自然積分算子將無界區(qū)域問題簡化為有界區(qū)域問題，并保持與有界區(qū)域有限元法相同的計算精度。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1,2,3,4])
2. 其他重要發(fā)現(xiàn)點
(1)自然邊界積分算子正是人工邊界上的準確的邊界條件，基于此系統(tǒng)發(fā)展了適于求解無界區(qū)域偏微分方程問題的人工邊界方法，并針對多種重要的應用問題設計出一系列高精度的整體人工邊界條件、局部人工邊界條件和離散的人工邊界條件，將無界區(qū)域上的問題簡化為帶近似人工邊界的有界區(qū)域問題進行數(shù)值求解。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1,2,4,9])
(2)首次提出了積分核級數(shù)展開法等超奇異積分的計算方法，巧妙地解決了邊界元法中超奇異積分計算及超奇異積分方程的求解問題；提出了無界區(qū)域的區(qū)域分解算法，更便于計算。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[1])
(3)首次給出了矩形網(wǎng)格下任意雙p次有限元的漸近準確后驗局部誤差估計，指出雙偶次元與雙奇次元誤差估計的本質差別，這些結果當時就被作為美國馬里蘭大學自適應有限元軟件的編制依據(jù)；最早提出以超奇異剩余作邊界元后驗誤差估計，首次建立了自適應邊界元方法的嚴格的數(shù)學基礎。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[6,8,10])
(4)給出了以四邊形邊的中點和中心為節(jié)點的一種低階四邊形非協(xié)調單元，并將它應用于Stokes問題，Navier-Stokes問題的有限元數(shù)值模擬，得到了有限元解的誤差估計。在邊界積分-微分方程，變分不等式問題，不適定問題和奇異攝動問題的數(shù)值解方面也得到了重要的研究成果。(偏微分方程數(shù)值解，積分方程數(shù)值解，代表性論著[5,7])
主要完成人： 余德浩
本人對項目核心發(fā)現(xiàn)點及重要發(fā)現(xiàn)點1－3均做出創(chuàng)造性貢獻，包括：系統(tǒng)發(fā)展自然邊界元法和人工邊界法，得到一系列典型問題的自然積分方程，進行深刻的理論分析；首次提出積分核級數(shù)展開法等超奇異積分的計算方法，克服超奇異積分的計算困難；首先提出邊界元與有限元自然直接耦合法及無界區(qū)域分解算法；推導出各階精度的整體及局部人工邊界條件，得到近似人工邊界法的誤差估計；首次給出矩形網(wǎng)格下雙p次有限元漸近準確后驗誤差估計；首次建立自適應邊界元嚴格的數(shù)學基礎，提出以超奇異剩余作邊界元后驗誤差估計。
本人近30年的研究工作均圍繞本項目進行，在該項研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性論著為[1,4,6,8,10]。
韓厚德
本人對本項目核心發(fā)現(xiàn)點和其他重要發(fā)現(xiàn)點1及4均做出創(chuàng)造性貢獻，包括：系統(tǒng)發(fā)展求解無界區(qū)域問題的自然邊界元法和人工邊界法，得到各階精度的整體、局部和離散人工邊界條件；建立該方法的數(shù)學基礎，給出精細的誤差估計；提出有限元與邊界元的對稱耦合方法，給出人工邊界上的隱式邊界條件，適用于任意形狀的人工邊界；給出該耦合數(shù)值解的最優(yōu)誤差估計；在低階四邊形非協(xié)調有限元構造，邊界積分-微分方程、變分不等式問題、不適定問題和奇異攝動問題的數(shù)值解等相關領域取得一系列創(chuàng)造性成果。
本人近30年的研究工作均圍繞本項目進行，在該項研究的工作量占本人科研工作量90％以上。代表性論著為[2,3,5,7,9]。
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