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媒體報道：

樂享數學之美——記北京大學數學科學學院副院長章志飛

2006年的一天，章志飛像往常一樣與他在國科學院數學與系統科學研究院做博士后時的合作導師張平聯系。“他覺得我可以嘗試一下水波方程問題”，時隔13年，已經是北京大學數學科學學院副院長的章志飛對記者說，那是不同尋常的一天，“有旋水波問題的局部適定性研究是我數學生涯的轉折點”。

和應用學科相比，數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏得很深。一路走來，章志飛欣賞數學中的美感，或有感慨，卻從不過分急切。“做事情要一步一個腳印。我一般不會預設特別大的目標，但沿著某個方向一直努力的決心不會變，一直往前走，總會有進步。”

做“對胃口”的研究

20世紀90年代末，數學家鄔似玨以調和分析為利器，在無旋水波問題的局部適定性研究上做出了突破性進展。這令張平和章志飛看到了另一種希望——將調和分析應用到有旋水波問題局部適定性研究中會不會出現新的奇跡？

“水波是運動的，如果不考慮流體黏性問題，可以用歐拉方程來描述其自由邊界的局部適定性。一般情況下，這個邊界是固定的，但在有旋水波方程中，隨著時間變化，邊界一直在運動。要研究這個界面如何運動，也就相當于研究其解的存在性和唯一性。從理論上講，正好在調和分析的范疇內。”章志飛分析道，“難，但是非常對我胃口。”

2008年，他與張平合作的研究結果被發表在頂尖數學期刊CPAM上。兩年后，著名數學家Strauss在其綜述論文中將這篇文章列為領域內的一篇關鍵性論文。菲爾茲獎獲得者Fefferman等也多次引用。贏得了國際同行的認可，章志飛自然欣喜，但更令他滿足的是這項“對胃口”的工作讓他真正享受到了做研究的樂趣，“也開了一個好頭兒”。如其所言，從此以后，章志飛在水波方程領域展開了一系列深入性的研究。

水波方程有多復雜，一眾數學家和物理學家都深有體會，他們更習慣利用更簡單的方程來描述水波運動，如Shallow Water方程、KDV方程、KP方程等。從形式上看，這些方程都可以作為水波方程在某種物理尺度模式下的極限。“KDV方程就是被用來描述在淺水、長波和小振幅情形下水波的運動。”章志飛舉例道。如此一來，如何在數學上嚴格地從水波方程導出各種漸近方程就成為一個重要且困難的數學問題。就在有旋水波問題局部適定性發表的前一年，著名數學家Craig等在綜述論文里列出了一個重要的公開問題：“證明具有自由表面的三維水波方程的極限。”

2008年，Alvarez-Samaniego和Lannes在各種物理尺度模式下嚴格證明了三維不帶表面張力水波方程到相應漸進方程的極限。章志飛注意到，他們推導出了Bond數為零時的KPII方程，但一般情形下的KP方程還是未知。“如果Bond數小于1/3，可以得到KPI方程；Bond數大于1/3，能得到KPII方程，在臨界情形，也就是Bond數等于1/3時，我們得到了5階KP方程。”這個結果，是章志飛與明梅、張平合作得到的，他們的工作在JMPA、ARMA、SIAM發表后，完全解決了水波方程到KP方程的嚴格波長極限問題。

“2018年我們也有一項工作發表在CPAM上”，章志飛口中的這項工作與開爾文—亥姆霍茲不穩定性有關。開爾文—亥姆霍茲不穩定性現象最常見的就是波狀云。在平原地區，風速迅速改變形成渦流，移動迅速的輕密度云朵滑動到移動緩慢的云層上，制造出波浪的視覺效果。快速移動且密度較低的云層在速度較慢且密度更高的云層上方移動，形成云浪。云浪是一層卷云內部出現湍流的結果，卷云內的氣流速度和方向存在差異，導致云朵形成好似在水上翻滾的景象。1953年，蘇聯物理學家Syrovatskij發現，磁場能夠阻止開爾文—亥姆霍茲不穩定性，并提出了相應的穩定性條件。“他研究的是線性穩定性，但Syrovatskij條件下的非線性穩定性還是一個長期的公開問題。”經過反復思考和驗證，章志飛發現水波方程可以為這一問題提供重要的靈感。基于此，他與孫永忠、王偉合作，在國際上率先提出了Syrovatskij條件下的非線性穩定性結果，論文發表后產生了重要的影響力。

打一場“硬仗”

浴缸里的水在排水口形成一個渦旋、煙頭升起的青煙在空氣中擴散、河流繞著石頭流動��當一個有序流動的流體變化成看似不可預知的漩渦，往往關聯著湍流。湍流問題是物理界最難理解的問題之一，而用來描述流體運動的Navier-Stokes方程（簡稱“NS方程”），對解決湍流問題有很大的助益。數學家們更關心這個方程中解的存在性，以及這些解是否有邊界。作為千禧年大獎難題之一，NS方程一直都沒有被破解。“這個方程中遇到的問題在其他方程中也可能存在，這個問題突破不了，其他方程中遇到的也同樣突破不了。”與前赴后繼的數學家一樣，章志飛對NS方程這座極具挑戰性的險峰滿懷憧憬，由衷地想要做些什么，他瞄準了可壓縮NS方程的適定性和爆破機制。

這場“仗”要怎么打？章志飛從不可壓縮NS方程研究中找到了靈感。1994年，法國科學院院士Meyer等學者對一類大能量的高振蕩初值證明了不可壓縮NS方程光滑解的整體存在性，這一重要成果被稱為Cannone-Meyer-Planchon定理。能不能將這一定理推廣到可壓縮NS方程中？章志飛覺得這條路值得趟一趟。他聯合北京應用物理與計算數學研究所研究員陳瓊蕾、苗長興將設想變現，借助微局部分析工具發展了求解雙曲拋物耦合方程組的半群方法。而通過引入加權的Besov空間，他們還發展了一套在臨界Besov空間下求解可壓縮NS方程的方法，并被國際同行稱之為“Chen-Miao-Zhang方法”。其后數年，章志飛與合作者再接再厲，不僅證明了使用該方法所得局部適定結果的最優性，還利用該方法和Hoff方法證明了對一類動能大而勢能小的初值可壓縮NS方程的整體適定性。

除此之外，章志飛幾乎同步在鉆研另一個重要問題——可壓縮NS方程的光滑解是否在有限時間爆破？這是一個長期公開的問題。早在1958年，著名數學家納什就在其著名論文中提出了這樣的猜想：只要密度和溫度不會產生集中，解應該不會產生奇性。

“想要證明納什猜想，本質數學困難就是僅在密度和溫度有上界的情形下，做出速度場的梯度估計。”章志飛解釋道，“這是一個雙曲拋物耦合系統，傳統的Nash-Moser-De Giorgi方法、極值原理等方法都不適用。”

如何解決這一問題？他與孫永忠、王超合作找到了新的思路：在證明的主要想法是在密度和溫度有界的情況下，得到有效黏性通量的高階估計；再利用連續方程與Logarithmic-Sobolev不等式得到密度的W1，P估計，最后利用橢圓估計得到速度場的梯度估計。2011年，他們相繼在JMPA、ARMA等權威期刊發表了工作進展，針對等熵流，他們證明了只要密度不發生集中，光滑解就不會爆破；而非等熵流，只要密度和溫度不發生集中，光滑解就不會爆破。

這些工作為納什猜想做了一個合理的注腳，得到了國內外同行的廣泛關注。2016年，德國Springer出版社刊發Handbook of Mathematical Analysis in Mechanics of Viscous Fluids（《黏性流體力學數學分析手冊》），章志飛團隊應邀為其撰寫章節：Blow-up criteria of strong solutions and conditional regularity of weak solutions（《強解的爆破標準和弱解的條件正則性》）。

“被動”型精彩

“我中學時更擅長數學和物理，但也沒有確定到以后一定要這些專業。”章志飛回憶道，隔著時空望向當初的少年，他給那時的自己定位是“被動”。

1994年高考后，在班主任的建議下，章志飛填報了杭州大學數學系。大學4年，作為一個數學系的學生，他的計算機也學得很漂亮。“如果不是推免讀研，我大概率會試水IT業。”誠如斯言，世事難有如果，章志飛還是在數學道路上更進了一步。他讀研時，原浙江大學與杭州大學、浙江農業大學、浙江醫科大學合并組建成新的浙江大學，章志飛也成為新浙江大學的研究生，師從王斯雷教授。

“王斯雷教授是國內研究調和分析、偏微分方程比較權威的專家。但調和分析本身理論發展比較高潮的時期是二十世紀七八十年代。”章志飛稱，到了他讀研時，調和分析本身的理論已經相對比較完善和成熟了。當時，國際上從事調和分析的研究者已經有人在探索交叉融合方向，比如向小波分析、數論等角度轉變。其中，將調和分析與偏微分方程相結合也備受青睞，菲爾茲獎獲得者布爾蓋恩、陶哲軒等都非常重視。而當這一方向出現在導師王斯雷列出的選項中，章志飛也做出了選擇。2003年，章志飛的博士論文《發展型方程中若干問題的研究》順利通過了答辯。同年，他進入中國科學院數學與系統科學研究院，跟隨張平研究員進行博士后研究。2005年起任職于北京大學數學科學學院。“除了去法國巴黎第十一大學做過一年的博士后工作，這十幾年基本沒有離開過北京大學。”

章志飛的事業生涯呈現出穩定的狀態，同樣穩定的還有他的研究主線，用他的話說從讀研開始的20余年，流體力學方程一直與他形影相隨。“也不是說不做別的方程，像液晶方程，某種程度上是一種復雜的流體方程。液晶既可以看成流體，又不是普通的流體，要考慮NS方程與其他方程耦合。”章志飛盡量通俗地去解釋。液晶方程的3個基本理論——Doi-Onsager理論、Landau de-Gennes理論和Ericksen-Leslie理論是從不同的物理觀點出發而得到的。它們之間究竟有什么聯系，一直是液晶數學理論研究中一個基本而重要的問題。在液晶無缺陷情形下，章志飛與王偉、張平文合作給出了這些不同理論一致性的嚴格數學證明。另外，他們在液晶的相變問題上也取得了系列重要的成果。

對“非線性Schrodinger方程是否有Anderson局域化”問題的探索，是章志飛的又一項嘗試。這個問題很難用數值方法分析，必須借助理論方法，因為它需要高精度和長時間的計算。2009年，章志飛與W.M.Wang合作證明了一維非線性隨機Schrodinger方程的長時間Anderson局域化，澄清了這個有爭議問題。該結果一經發表即引發了國際數學界的高度評價。國際數學家大會45分鐘報告者Soffer認為他們做出了這個方向上“最重要的結果”。《數學評論》則盛贊其成果尤為“簡潔、漂亮”。2010年第16屆國際數學物理會議上，美國普林斯頓大學教授、美國科學院院士Aizenman也在特別報告中介紹了他們的結果。

破解公開問題、澄清爭議問題，章志飛享受著解題過程的快樂。從被動選擇到享受熱愛，不知不覺中，他走出了腳踏實地的精彩。但不論如何嘗試，他都沒有離開自己的研究主線。近年來，他和團隊在流體動力學方程穩定性的數學理論方面取得了重要的進展。

“在二維流體中有一個非常重要的現象，非對稱的渦會很快地形成對稱的Oseen渦。要想從數學上解釋這個現象，最關鍵的就是要解決法國數學家Gallay提出的關于Oseen渦度算子的擬譜和譜界猜想。我們做到了。”更令章志飛自豪的是，他們的工作發表后，又被Gallay應用到了非線性問題的解決上，也算是一段佳話了。

層流到湍流的次臨界轉換問題是流體力學中一長期公開問題。1993年，Trefethen等在《科學》雜志上提出理解這個問題的關鍵之一是要分析線性化算子的擬譜，而不能只分析算子的譜，因為這是一個非正常算子。基于一個NS方程的簡化有限維動力學模型的分析，他們提出了流動穩定性的轉換閾值猜測。在三維庫埃特流中，章志飛等人解決了這個猜測。

朗道阻尼是指粒子和波相互作用使波的振幅減小的現象，屬于等離子體動力學中十分重要的結果。但在1903年，物理學家就在庫埃特流中發現了速度場會隨時間衰減到零，這個現象如今被稱為無粘阻尼。這意味著無粘流體中也有類似朗道阻尼的現象。1960年，物理學家Case對一般的單調剪切流預測出了精確的速度衰減速率。直到2018年，章志飛等人才在CPAM上發表的文章中真正嚴格驗證了物理學家Case預測的結果。

與之相對，法國數學家Bouchet等在一類非單調的剪切流中發現了一個動力學現象。“在水杯里攪拌咖啡，軸心處渦度為零”，章志飛形象地打著比方，“但它某種程度上是由于對稱性引起的”。2019年，章志飛等人證明這種現象具有普遍性。

目前，章志飛已經在國際核心數學期刊發表學術論文80余篇，出版專著1本，入選教育部新世紀人才計劃、中組部首批青年拔尖人才支持計劃，2014年獲得國家杰出青年科學基金。

數學之美

20世紀90年代，章志飛讀研后，最直觀的體會是國內的文獻信息來源非常慢。他所說的“慢”指向信息延時。由于當時互聯網和信息技術不發達，他們看到一篇文章常常是這篇文章發表三四年之后。“信息延時常常會導致，當你有了一些設想時，人家已經做完了。”

這的確不是什么愉快的現實，所幸的是章志飛極為沉得住氣。讀研的5年里，他的精力更多放在夯實基礎上。用他的話說，數學不同于別的學科，本科基礎遠遠不夠用，像代數幾何耗上5年能搞懂就不錯了，而分析學科就算門檻略低，想要做出更好的東西要付出的努力還是有過之而無不及的。從那時起，他在流體力學方程理論研究上的工作基本沒有脫離開NS方程和歐拉方程。兩者都是流體力學的基本方程，一個極繁，一個極簡，但在章志飛眼中，它們都一樣美。“很多學過微積分的人都能看得懂歐拉方程，這么簡單的方程能夠去描述復雜的物理過程，難道你不覺得美嗎？”他反問道，眼中光芒大盛。

蘇聯哲學家柯普寧曾說：“當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優美的曲調等一樣而得到充分的快樂。”章志飛深以為然，他誠懇地表示，“如果真正把數學鉆研進去，哪怕不是你自己證明的，也能夠欣賞到別人的證明過程，感受到數學的美”。

章志飛當然遇到過挫折。在中國科學院數學與系統科學研究院做博士后時，他曾嘗試過將半經典分析與調和分析交叉，去探討一些更深入的問題，卻很難進行下去。但他也很難真的放棄，在法國巴黎第十一大學期間還去聽完了“半經典分析”課程，沒想到卻有了另一種層面上的收獲。這門課程，由兩位教授主講。上半學期，一位教授講授基礎理論；下半學期，另一位教授講授最新研究進展，甚至是還沒有正式寫好發表的進展。“基礎+前沿”，章志飛觸動很大。作為分管研究生工作的副院長，他也希望在有條件的情況下，通過這種模式推動學生們盡快接觸科研前沿。

章志飛其實是個很操心的導師，除了討論班要做好，學生的選題、生活、心理狀況等，都要引導。“隨著年齡的增長，科研文章可能會相對寫得少一點了，教學上會更加增強。寫一本好的教材比出一篇好文章的影響力更大。”如今，他的研究問題正在慢慢收縮，會逐漸集中到一兩個比較有意思的問題上。“讓人家能說，在北京大學還有這么一波人做出這么厲害的成果。”談到未來，章志飛神采飛揚。

專家簡介：

章志飛，北京大學數學科學學院副院長、教授。1976年11月出生，浙江大學博士。主要從事偏微分方程理論研究，特別是流體力學中的偏微分方程。主持國家自然科學基金、國家杰出青年科學基金等多個項目。在CPAM、CMP、ARMA、JFA等著名數學刊物上發表學術論文80余篇。獲評教育部新世紀優秀人才、中組部首批青年拔尖人才、“**學者獎勵計劃”特聘教授。

來源：科學中國人 2019年9月下