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項目簡介：
本項目屬群表示論、李群和李代數(shù)領域。在這些領域中，卡茲但－路茲梯格（Kazhdan-Lusztig）理論極其重要。它導致了很多重要問題的解決，又開創(chuàng)了很多意義重大的研究方向。本項目系統(tǒng)研究了卡茲但－路茲梯格理論中的一些基本和重要的問題：路茲梯格關于仿射外爾群的雙邊胞腔的基環(huán)的猜想，德林那－郎蘭之（Deligne-Langlands）關于仿射赫克代數(shù)的猜想，雙邊胞腔的性質(zhì)，卡茲但－路茲梯格多項式的性質(zhì)等。
本項目主要的成果有：
（１） 對仿射A型外爾群證明了路茲梯格關于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想。此工作被美國數(shù)學會以專著形式發(fā)表：《An-1型仿射外爾群的雙邊胞腔的基環(huán)》, Mem. Amer. Math. Soc., No. 749, 2002。路茲梯格在個人網(wǎng)頁中提到這項工作，其網(wǎng)頁僅提到二十項他人（很多是世界一流數(shù)學家如Arnold， Atiyah，Bott，Gromov，Hirzebruch，Lawson，Taubes 等）有關的重要工作。世界一流數(shù)學家本茲茹卡夫尼口夫（MIT）、中島（京都大學）等人后來重新證明了這一結果。麥克格提用此結果推出量子群的結果。格林稱此結果用表代數(shù)的語言陳述是高度非凡的（highly nontrivial）。奧伯特等他人用此結果研究其它的問題。
（２）證明了除有限個例外，德林那－郎蘭之關于仿射赫克代數(shù)的猜想對單位根的情形成立，并證明了對某些單位根，該猜想需修改。 此工作由德國Springer-Verlag以專著形式發(fā)表：《仿射赫克代數(shù)的表示》，Lecture Notes in Mathematics 1587, 1994。非單位根的情形，該猜想由世界一流數(shù)學家卡茲但（哈佛）和路茲梯格（MIT）證明。專著引發(fā)了后繼研究，并被一些有影響的工作引用。
（３）與路茲梯格合作證明了仿射外爾群的每個雙邊胞腔含有唯一的典范左胞腔（Adv. in Math）。
此發(fā)現(xiàn)成為以后很多工作的基礎之一，在代數(shù)群、量子群和李代數(shù)中均有深入的應用。
本項目的主要工作形成兩篇長論文，分別由德國Springer-Verlag和美國數(shù)學會以專著形式發(fā)表，另發(fā)表論文八篇。SCI他引39次。
主要發(fā)現(xiàn)點：
一、 對仿射A型Weyl群證明了Lusztig關于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想。此外，對如下情形，證明了Lusztig關于雙邊胞腔的基環(huán)的猜想，（a）秩２的仿射Weyl群，（b）仿射Weyl群的第二高的雙邊胞腔，（c）仿射Weyl群的最低雙邊胞腔。
仿射Weyl群的雙邊胞腔的基環(huán)的定義是組合式的。 Lusztig猜想（1989）：這個基環(huán)同構于某些等變K群。這是一個重要的猜想。它揭示了胞腔、Kazhdan-Lusztig基、代數(shù)群的結構和表示、K理論之間的深刻聯(lián)系。席南華因上述工作于2001年獲世界華人晨興數(shù)學銀獎。
本發(fā)現(xiàn)所屬學科：群表示論和李群。相關專著和論文的序號：1（專著）、2（專著)、6。
二、 證明了：當參數(shù)為單位根且階大于相應的Weyl群的最大指數(shù)加一時，Deligne-Langlands關于仿射Hecke代數(shù)的不可約表示的分類的猜想成立；當參數(shù)是相應的龐加萊多項式的根時，該猜想需修改。
此猜想源于p-adic群的表示，后者在Langlands綱領中起著突出的作用。 (Deligne獲菲爾茲獎，Langlands獲沃爾夫獎。)。當參數(shù)為非單位根時，該猜想由世界一流數(shù)學家Kazhdan（原哈佛教授，美國科學院院士）和Lusztig （MIT教授，美國科學院院士）證明(Invent. Math. 1987)。由此引起人們對單位根處情形的極大興趣。單位根處的仿射Hecke代數(shù)還與單位根處的量子群有密切聯(lián)系。
本發(fā)現(xiàn)所屬學科：群表示論、李群和李代數(shù)。相關專著和論文的序號：2（專著）、7。
(另外，席南華現(xiàn)已證明：當參數(shù)不是相應的龐加萊多項式的根時，Deligne-Langlands猜想成立。至此，該問題得到圓滿解決。相關論文發(fā)表于美國數(shù)學會最好的雜志：Jour. Amer. Math. Soc. 20 (2007), 211-217。）
三、與Lusztig合作證明了仿射Weyl群的每個雙邊胞腔含有唯一的典范左胞腔。
典范左胞腔具有許多獨特的性質(zhì)。這個發(fā)現(xiàn)成為以后很多工作的基礎之一，如Lusztig關于典范左胞腔的基環(huán)的猜想和Bezrukavnikov對此猜想的證明，Humphreys把它與李代數(shù)的表示聯(lián)系起來，典范左胞腔還被V. Ostrik用于研究量子群的傾斜模范疇。
本發(fā)現(xiàn)所屬學科：群表示論。相關論文的序號：3。
主要完成人：
1. 席南華
獨立完成主要發(fā)現(xiàn)點一和二，主要發(fā)現(xiàn)點三的主要完成人之一。在該項研究中的工作量占本人工作量的85％。
10篇代表性論文：
1. The based ring of two-sided cells of affine Weyl groups of type ? n-1, / Mem. of Amer. Math. Soc. （專著）
2. Representations of affine Hecke algebras, Lecture Notes in Mathematics 1587（專著）, Springer-Verlag
3. Canonical left cells in affine Weyl groups (with G. Lusztig) / Adv. in Math.
4. An approach to the connectedness of the left cells in affine Weyl groups, / Bull. London Math. Soc.
5. Induced cells / Proc. of Amer. Math. Soc.
6. The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, / J. Alg.
7. The based ring of the lowest two-sided cell of an affine Weyl group, II / Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.
8. A partition of the Springer fibers BN for type An-1, G2 and some applications, Indag. Mathem., N.S.
9. On the characterization of the set D1 of the affine Weyl group of type ?n-1, / In "Representation theory of algebraic groups and quantum groups", Adv. Stud. Pure Math., 40, Math. Soc. Japan, Tokyo
10. The leading coefficient of certain Kazhdan-Lusztig polynomials of the permutation group Sn / J. Algebra
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