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媒體報道（一）：

中國科學院數學與系統科學研究院的研究員：李文林

主持人：今天我們請來了數學專家介紹數學專業的專業背景和就業前景�，F在要給各位做一個介紹，此刻坐在我身邊的就是中國科學院數學與系統科學研究院的研究員李文林先生，歡迎您。

李文林：觀眾朋友大家好。

主持人：歡迎您來到我們節目當中，我們要和李文林先生聊一聊和數學有關的話題，今天我們談的都是數學專業的情況，我想請教您，您在當時考大學的時候是不是真的就一門心思就想學數學。

李文林：我這個情況有點波折，我第一志愿填報的是中國科技大學的近代物理系，當年可能是因為考這個學校這個系的人數比較多，也可能因為我的高考成績數學比較突出，我最終被錄取在中國科大的數學系。因為我本來對數學就很感興趣，所以在科技大學數學系這樣一個良好的數學環境下面，我很快就進一步了解、提高了對數學價值的認識。

主持人：當時華羅庚是不是你們的系主任？

李文林：我們的系主任。

主持人：那個時候你心里面崇拜他嗎？

李文林：那當然，因為華羅庚是全世界著名的數學家，而且華羅庚是江蘇金壇人，是老鄉，當然是比較崇拜的。

主持人：后來一生都和數學研究結緣在一起，會不會跟當時學校的整個氛圍，包括和很多知名的數學家當導師息息相關。

李文林：當時有一個很好的條件就是中科院有很多數學家親自到科大去授課，比如說華羅庚教授等等都是親自到數學系給我們上課。

主持人：我想很多電視機前的觀眾朋友和我一樣好奇，我們數學系都學些什么，我們在中學接觸過幾何、代數，大學里可能有微積分、概率等等，如果繼續學的話究竟還可以去學什么樣的內容。

李文林：數學經過兩千多年的發展已經是一棵根深葉茂的大樹，在高層學校里還是學習基礎，打基礎。在我們那時候我們要學微積分，要進一步的系統的深入學習微積分，還有線性代數，還有概論，拓撲、函數、方程、數理統計、計算方法等等。有的學�？赡苓�要開一些抽象代數等等。

主持人：對于我們這些非數學專業的人來說，聽著您剛才介紹的學科門類都覺得非常的新鮮，那學了那么多門課現在回過頭來看您覺得在大學期間的哪一門課會讓您終身受益無窮，對未來的研究工作十分有幫助。

李文林：當時在科大吳院士給我們這個班親自講授微積分，也叫數學分析，這個課講了三年，我想這個課程對于奠定堅實的數學基礎以及培養數學思維對我們來講都是有決定性意義。當然還有一些其他的課程也是終身受益的，比如說華羅庚教授還給我們開了一個函數論，像應老師給我們講的函數論，誠院士給我們講的概論這些課程對我們來講都是終身受益。

主持人：學完了大學本科四年有沒有考慮過自己未來向什么方向去發展？

李文林：當時我想我個人希望有機會從事數學研究。

主持人：那個時候已經是很堅定的信念。

李文林：談不上很堅定，但是也是比較堅定的意向。

主持人：后來有沒有如愿以償。

李文林：后來我大學畢業直接分配到中國科學院數學研究所，應該說在這個道路上在畢業以后就能夠如愿以償。

主持人：在前面短片當中我們看到其實學數學的人在未來改行的人還不在少數，當時您有沒有想過改行干別的。

李文林：我想數學既是一個基礎學科又是一個工具，我覺得學好數學也可以到別的行業施展伸手，不過當時我大學畢業科大數學系對基礎培養這方面的考慮還是比較強烈，我們這些學生當時都希望能夠直接從事數學研究，當然這些也包括應用數學的研究。

主持人：很多人都說數學是基礎學科，學完了以后可能會影響未來職業的選擇，你認同他們的這種說法嗎？

李文林：我認為這個看法是對的，因為數學作為一門基礎科學不僅僅是自然科學跟技術科學的基礎，而且在人文科學跟社會科學上現在也越來越廣泛的應用數學。在大學里學了數學畢業以后可以選擇的空間比較大，而且就業面也是比較寬的。

主持人：一般會有什么樣的選擇？

李文林：首先當然是到不同科研機構里從事數學跟數學應用的研究，另外像信息技術、經濟、金融、管理，甚至包括氣象這樣的一些部門，據我了解還有國防的高新技術部門，數學的專業人才都是大有可為，很有用武之地的。我可以舉些例子，我們剛才講到的經濟、金融，我們研究院王院士是搞數論的，他有一個學生到的美國，后來給他寫信說在美國是搞金融，在華爾街搞得非常成功，我想他原來是學數學的，我們的王選院士是信息技術方面，但是他是北大數學系出身的。我是六十年代到數學所，在五十年代曾經有很多學數學的人轉行到國防部門，像導彈、衛星、核武器這些研究，我們數學輸出過很多數學家到他們那去從事開發，技術的研究，而且做出了成就。

主持人：還是應驗了原來那句老話學好數理化走遍天下都不怕，我們看到您一生都和數學打交道，肯定發現了別人感受不到的魅力，您覺得研究數學最大的樂趣是什么？

李文林：我想從數學是什么說起，數學的研究對象是數量關系和空間形式，簡而言之就是數和形，可謂說是無處不在，數學跟我們的整個科學技術發展息息相關，而且數學跟我們的生活也息息相關。比方說我們要看病，給我們做醫療診斷的儀器，可以說沒有數學就沒有CT儀。我們每天關注天氣預報，現在很大程度上依靠數學的計算，我想數學的用處是非常廣泛。正因為數學研究數理形，千變萬化的數理形使得數學研究本身變得魅力無窮。我可以這么比方，數學就像是有一個抽象的圍墻的花園，如果你站到外面看有的時候你會覺得它有一點抽象，有一點深奧，甚至有時候覺得有點枯燥，但是只要你走進這個門，你就會發現數學的花園是百花齊放，百花爭艷，而且是氣象萬千。我們聽到的很多問題像什么疑難猜想都是數學花園里的奇葩。另外，我想數學不僅是大有用處，而且數學研究本身我想就是一種藝術，這個藝術就是數跟形的藝術，畫家是畫畫，音樂家是作曲，但是數學家是研究數跟形的藝術，我想這個是其樂無窮。

主持人：看了您的笑容就知道真的是其樂無窮，剛才您提到了龐加萊猜想，我想在剛剛過去的六月份應該是讓我們對數學界印象非常深的申請，那就是曹懷東教授和中山大學的朱熹平教授告訴世人，說我們已經破解了百年數學難題龐加萊猜想，我記得在我很小的時候讀過徐馳的報告文學，哥德巴赫猜想，當時把它說成是數學王冠上的一顆明珠，那么龐加萊猜想是不是同樣也是一顆閃閃發光的明珠。

李文林：龐加萊猜想是在二十一世紀初的時候被美國的克萊研究所確定為七大數學問題，對全世界數學家來懸獎的，龐加萊猜想是其中一個，就說明這個猜想的意義和重要性。

主持人：在六月份其實還有一件和數學有關的事情，就是吳文俊院士獲得了邵逸夫獎的數學科學獎，當越來越多的中國人身影出現在解決數學皇冠上明珠難題的過程當中，您對這些希望報考數學專業的考生有沒有什么特別深切的期望和期待。

李文林：我想中國人民是擅長數學的一個民族，中國古代有很優秀的悠久的數學傳統，到了名朝以后我們的數學落后了，但是在上一個世紀初開始我們中國的幾代數學家都在努力的拼搏奮斗，希望趕超世界先進水平，那么特別是到了上個世紀九十年代以后，由于中國的改革開放，中國數學家通過走出去請進來，在趕超世界數學先進水平的道路上取得了相當大的進步，比方你剛才說到的陳景潤在哥德巴赫猜想上的貢獻四十年到現在還沒有人能夠超越，我想中國的數學基礎學科很難去精確的預測具體成果，但是有一點可以樂觀的估計到就是中國數學家在不愿的將來實現把我們中國建成數學強國這樣一個宏偉目標。我覺得我們年輕的學生如果能夠有幸成為這個光榮科學隊伍里的一員，我覺得這是驕傲的。

主持人：我想這是大家共同的期待，也讓我們大家為這個目標共同努力，特別感謝李先生來到我們直播現場。

文章來源：《央視國際 www.cctv.com》2006年07月05日

媒體報道（二）：

追尋數學大國的歷史脈絡——數學史專家李文林談中國數學發展

有位著名的數學家說過，“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家都有著深遠的影響”。

對于數學史有著深厚研究的中國科學院數學與系統科學研究院研究員李文林認為，數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。因而，數學史是人類文明史最重要的組成部分。

近年來，李文林研究員執著地在中國數學史領域求索，曾發表過大量關于數學史的研究論文。他專門為大學學生撰寫的《數學史教程》，被廣泛地應用于大學數學史學科的教學。他是上一屆中國數學會數學史分會的秘書長。

不久前，李文林研究員還參與了一項重要的研究工作。中國首屆國家最高科學技術獎獲得者、著名數學家吳文俊先生設立了“數學與天文絲路基金”，用于資助年輕學者研究古代中國與世界進行數學交流的歷史，揭示部分東方數學成果如何從中國經“絲綢之路”傳往歐洲之謎。該研究旨在糾正世界科技界對中國數學認識上存在的偏頗，通過對中國古代數學遺產的進一步發掘，探明近代科學的源流，鼓舞中國人在數學研究上的自信心和發憤圖強的勇氣。李文林作為該學術委員會組長參與了很多工作。

日前，本報記者采訪了李文林研究員。李文林把中國數學史稱為波瀾壯闊的中華文明史中最亮麗的篇章。在李文林的娓娓敘述中，中國數學對于世界的卓越貢獻，如盛開著的中國文明之花，一朵朵展現開來。

古代數學領跑世界

中國數學有著悠久的歷史，14世紀以前一直是世界上數學最為發達的國家，出現過許多杰出數學家，取得了很多輝煌成就。

中國數學的起源與早期發展，在古代著作《世本》中就已提到黃帝使“隸首作算數”，但這只是傳說。在殷商甲骨文記錄中，中國已經使用完整的十進制記數。至遲到春秋戰國時代，又開始出現嚴格的十進位制籌算記數�；I算作為中國古代的計算工具，是中國古代數學對人類文明的特殊貢獻。

關于幾何學，《史記》“夏本紀”記載說：夏禹治水，“左規矩，右準繩”�！耙帯笔菆A規，“矩”是直角尺，“準繩”則是確定鉛垂方向的器械。這些都說明了早期幾何學的應用。從戰國時代的著作《考工記》中也可以看到與手工業制作有關的實用幾何知識。

戰國(公元前475年～前221年)諸子百家與希臘雅典學派時代相當�！鞍偌摇本褪嵌喾N不同的學派，其中的“墨家”與“名家”，其著作包含有理論數學的萌芽。如《墨經》(約公元前4世紀著作)中討論了某些形式邏輯的法則，并在此基礎上提出了一系列數學概念的抽象定義。

在現存的中國古代數學著作中，《周髀算經》是最早的一部。《周髀算經》成書年代據考應不晚于公元前2世紀西漢時期，但書中涉及的數學、天文知識，有的可以追溯到西周(公元前11世紀～前8世紀)。從數學上看，《周髀算經》主要的成就是分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用，其中關于勾股定理的論述最為突出。

《九章算術》是中國古典數學最重要的著作。這部著作的成書年代，根據考證，至遲在公元前1世紀，但其中的數學內容，有些也可以追溯到周代�！吨芏Y》記載西周貴族子弟必學的六門課程“六藝”中有一門是“九數”。劉徽《九章算術注》“序”中就稱《九章算術》是由“九數”發展而來，并經過西漢張蒼、耿壽昌等人刪補。

《九章算術》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。其中所包含的數學成就是豐富和多方面的。算術方面，“方田”章給出了完整的分數加、減、乘、除以及約分和通分運算法則，“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，“盈不足”術是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設來求繁難算術問題的解的方法。代數方面，《九章算術》的成就是具有世界意義的，“方程術”即線性聯立方程組的解法；“正負術”是《九章算術》在代數方面的另一項突出貢獻，即負數的引進；“開方術”即“少廣”章的“開方術”和“開立方術”，給出了開平方和開立方的算法；在幾何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題，其中“方田”章討論面積計算，“商功”章討論體積計算，“勾股”章則是關于勾股定理的應用。

《九章算術》的幾何部分主要是實用幾何。但稍后的魏晉南北朝，卻出現了證明《九章算術》中那些算法的努力，從而引發了中國古典幾何中最閃亮的篇章。

從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，但同時也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學之后，學術界思辯之風再起。在數學上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現，實質是要尋求這兩部著作中一些重要結論的數學證明。這方面的先鋒，最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。他們的工作，使魏晉南北朝成為中國數學史上一個獨特而豐產的時期。

《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀魏晉時人，并于公元263年撰《九章算術注》�！毒耪滤阈g注》包含了劉徽本人的許多創造，完全可以看成是獨立的著作，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位。

劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”和體積理論。劉徽在《九章算術》方田章“圓田術”注中，提出割圓術作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎，使劉徽成為中算史上第一位建立可靠的理論來推算圓周率的數學家。在體積理論方面，像阿基米德一樣，劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時代的成果。

劉徽的數學思想和方法，到南北朝時期被祖沖之和他的兒子推進和發展了。

祖沖之(公元429年—500年)活躍于南朝宋、齊兩代，曾做過南徐州(今鎮江)從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數很少能名列正史的數學家之一。《南齊史》“祖沖之傳”說他“探異今古”，“革新變舊”。

球體積的推導和圓周率的計算是祖沖之引以為榮的兩大數學成就。祖沖之關于圓周率的貢獻記載在《隋書》中。祖沖之算出了圓周率數值的上下限：3.1415926<π<3.1415927。祖沖之和他兒子關于球體積的推導被稱之為“祖氏原理”。祖氏原理在西方文獻中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數學家卡瓦列利(B.Cavalieri)獨立提出，對微積分的建立有重要影響。

之后的大唐盛世是中國封建社會最繁榮的時代，可是在數學方面，整個唐代卻沒有產生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數學大家。

中國古典數學的下一個高潮宋元數學，是創造算法的英雄時代。

到了宋代，雕版印書的發達特別是活字印刷的發明，則給數學著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期(公元960年—1368年)，重新統一了的中國封建社會發生了一系列有利于數學發展的變化。這一時期涌現的優秀數學家中最卓越的代表，如通常稱“宋元四大家”的楊輝、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界數學史上占有光輝的地位；而這一時期印刷出版、記載著中國古典數學最高成就的宋元算書，也是世界文化的重要遺產。

賈憲是北宋人，約公元1050年完成一部叫《黃帝九章算術細草》著作，原書丟失，但其主要內容被南宋數學家楊輝著《詳解九章算法 》(1261年)摘錄，因能傳世。賈憲的增乘開方法，是一個非常有效和高度機械化的算法，可適用于開任意高次方。

秦九韶(約公元1202年—1261年)在他的代表著作《數書九章》中，將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形，稱為“正負開方術”。秦九韶還有“大衍總數術”，即一次同余式的一般解法。這兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

秦九韶的大衍總數術，是《孫子算經》中“物不知數”題算法的推廣。從“孫子問題”到“大衍總數術”關于一次同余式求解的研究，形成了中國古典數學中饒有特色的部分。這方面的研究，可能是受到了天文歷法問題的推動。中國古典數學的發展與天文歷法有特殊的聯系，另一個突出的例子是內插法的發展。

古代天算家由于編制歷法而需要確定日月五星等天體的視運動，當他們觀察出天體運動的不均勻性時，內插法便應運產生。早在東漢時期，劉洪《乾象歷》就使用了一次內插公式來計算月行度數。公元600年劉焊在《皇極歷》中使用了二次內插公式來推算日月五星的經行度數。公元727年，僧一行又在他的《大衍歷》中將劉焊的公式推廣到自變量不等間距的情形。但由于天體運動的加速度也不均勻，二次內插仍不夠精密。隨著歷法的進步，對數學工具也提出了更高的要求。到了宋元時代，便出現了高次內插法。

最先獲得一般高次內插公式的數學家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算學啟蒙》(1299年)和《四元玉鑒》(1303年)�！端銓W啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數學的發展�！端脑�玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最突出的數學創造有“招差術”(即高次內插法)，“垛積術”(高階等差級數求和)以及“四元術”(多元高次聯立方程組與消元解法)等。

宋元數學發展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是“天元術”和“四元術”的發明。天元術和四元術都是用專門的記號來表示未知數，從而列方程、解方程的方法，它們是代數學的重要進步。

中國古代數學以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。

現代數學迎頭趕上

自鴉片戰爭以后，西方列強的軍艦與大炮使中國朝野看到了科學與教育的重要，部分有識之士還逐步認識到數學對于富國強兵的意義，從而竭力主張改革國內數學教育，同時派遣留學生出國學習西方數學。辛亥革命以后，這兩條途徑得到了較好的結合，有力地推動了中國現代高等數學教育的建制。

20世紀初，在科學與民主的高漲聲中，中國數學家們踏上了學習并趕超西方先進數學的光榮而艱難的歷程。1912年，中國第一個大學數學系——北京大學數學系成立(當時叫“數學門”，1918年改“門”稱“系”)，這是中國現代高等數學教育的開端。

20世紀20年代，是中國現代數學發展道路上的關鍵時期。在這一時期，全國各地大學紛紛創辦數學系，數學人才培養開始著眼于國內。除了北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學，在這一時期成立數學系的還有東南大學(1921年)、北京師范大學(1922年)、武漢大學(1922年)、廈門大學(1923年)、四川大學(1924年)等等。

伴隨著中國現代數學教育的形成，現代數學研究也在中國悄然興起。中國現代數學的開拓者們，在發展現代數學教育的同時，努力拼搏，追趕世界數學前沿，至1920年末和1930年，已開始出現一批符合國際水平的研究工作。

1928年，陳建功在日本《帝國科學院院報》上發表論文《關于具有絕對收斂Fourier級數的函數類》，中心結果是證明了一條關于三角級數在區間上絕對收斂的充要條件。幾乎同時，G.哈代和J.李特爾伍德在德文雜志《數學時報》上也發表了同樣的結果，因而西方文獻中常稱此結果為“陳-哈代-李特爾伍德定理”。這標志中國數學家已能生產國際一流水平的研究成果。

差不多同時，蘇步青、江澤涵、熊慶來、曾炯之等也在各自領域里作出令國際同行矚目的成果。1928—1930年間，蘇步青在當時處于國際熱門的仿射微分幾何方面引進并決定了仿射鑄曲面和旋轉曲面。他在這個領域的另一個美妙發現后被命名為“蘇錐面”。江澤涵是將拓撲學引進中國的第一人，他本人在拓撲學領域中最有影響的工作是關于不動點理論的研究，這在他1930年的研究中已有端倪。江澤涵從1934年起出任北京大學數學系主任。熊慶來“大器晚成”，1931年，已經身居清華大學算學系主任的熊慶來，再度赴法國龐加萊研究所，兩年后取得法國國家博士學位。其博士論文《關于無窮級整函數與亞純函數》、引進后以他的名字命名的“熊氏無窮級”等，將博雷爾有窮級整函數論推廣為無窮級情形。

從20世紀初第一批學習現代數學的中國留學生跨出國門，到1930年中國數學家的名字在現代數學熱門領域的前沿屢屢出現，前后不過30余年，這反映了中國現代數學的先驅者們高度的民族自強精神和卓越的科學創造能力。

這一點，在1930年至1940年中的時期里有更強烈的體現。這一時期的大部分時間，中國是處在抗日戰爭的烽火之中，時局動蕩，生活艱苦。當時一些主要的大學都遷移到了敵后內地。在極端動蕩、艱苦的戰時環境下，師生們卻表現出抵御外侮、發展民族科學的高昂熱情。他們在空襲炸彈的威脅下，照常上課，并舉行各種討論班，同時堅持深入的科學研究。這一時期產生了一系列先進的數學成果，其中最有代表性的是華羅庚、陳省身、許寶 的工作。

到40年代后期，又有一批優秀的青年數學家成長起來，走向國際數學的前沿并作出先進的成果，其中最有代表性的是吳文俊的工作。吳文俊1940年畢業于上海交通大學，1947年赴法國留學。吳文俊在留學期間就提出了后來以他的名字命名的“吳示性類”和“吳公式”，有力地推動了示性類理論與代數拓撲學的發展。

經過老一輩數學家們披荊斬棘的努力，中國現代數學從無到有地發展起來，從1930年開始，不僅有了達到一定水平的隊伍，而且有了全國性的學術性組織和發表成果的雜志，現代數學研究初具規模，并呈現上升之勢。

1949年中華人民共和國成立之后，中國現代數學的發展進入了一個新的階段。新中國的數學事業經歷了曲折的道路而獲得了巨大的進步。這種進步主要表現在：建立并完善了獨立自主的現代數學科研與教育體制；形成了一支研究門類齊全、并擁有一批學術帶頭人的實力雄厚的數學研究隊伍；取得了豐富的和先進的學術成果，其中達到國際先進水平的成果比例不斷提高。改革開放以來，中國數學更是進入了前所未有的良好的發展時期，特別是涌現了一批優秀的、活躍于國際數學前沿的青年數學家。

改革開放以來的20多年是我國數學事業空前發展的繁榮時期。中國數學的研究隊伍迅速擴大，研究論文和專著成十倍地增長，研究領域和方向發生了深刻的變化。我國數學家不僅在傳統的領域內繼續作出了成績，而且在許多重要的過去空缺的方向以及當今世界研究前沿都有重要的貢獻。在世界各地許多大學的數學系里都有中國人任教，特別是在美國，中國數學家還在大多數名校占有重要教職。在許多高水平的國際學術會議上都能見到作特邀報告的中國學者。在重要的數學期刊上，不僅中國人的論著屢見不鮮，而且在引文中，中國人的名字亦頻頻出現。在一些有影響的國際獎項中，中國人也開始嶄露頭角。

這一切表明，我國的數學研究水平比過去有了很大提高，與世界先進水平的差距明顯地縮小了，在許多重要分支上都涌現出了一批優秀的成果和學術帶頭人。中國人在國際數學界的地位空前提高了。

李文林研究員表示，中國數學的今天，是幾代數學家共同拼搏奮斗的結果。2002年國際數學家大會在北京召開，標志著中國國際地位的提高與數學水平的發展。他表示相信，在眾多中國科學家的共同努力下，中國數學趕超世界先進水平，并在21世紀成為世界數學大國的夢想一定能夠實現。

近代數學日漸勢微

《四元玉鑒》可以說是宋元數學的絕唱。元末以后，中國傳統數學驟轉衰落。整個明清兩代(1368年—1911年)，不僅未再產生出能與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學杰作，而且在清中葉乾嘉學派重新發掘研究以前，“天元術”、“四元術”這樣一些宋元數學的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達三百余年的時期內，除了珠算的發展及與之相關的著作(如程大位《算法統宗》，1592年)的出現，中國傳統數學研究不僅沒有新的創造，反而倒退了。

中國傳統數學自元末以后落后的原因是多方面的�；食�更迭的漫長的封建社會，在晚期表現出日趨嚴重的停滯性與腐朽性，數學發展缺乏社會動力和思想刺激。元代以后，科舉考試制度中的《明算科》完全廢除，唯以八股取士，數學社會地位低下，研究數學者沒有出路，自由探討受到束縛甚至遭禁錮。

同時，中國傳統數學本身也存在著弱點。籌算系統使用的十進位值記數制是對世界文明的一大貢獻，但籌算本身卻有很大的局限性。在籌算框架內發展起來的半符號代數“天元術”與“四元術”，就不能突破籌算的限制演進為徹底的符號代數。籌式方程運算不僅笨拙累贅，而且對有五個以上未知量的方程組無能為力。另一方面，算法創造是數學進步的必要因素，但缺乏演繹論證的算法傾向與缺乏算法創造的演繹傾向同樣難以升華為現代數學。而無論是籌算數學還是演繹幾何，在中國的傳播都由于“天朝帝國”的妄大、自守而顯得困難和緩慢。16、17世紀，當近代數學在歐洲蓬勃興起以后，中國數學就更明顯地落后了。

從17世紀初到19世紀末大約三百年時間，是中國傳統數學滯緩發展和西方數學逐漸傳入的過渡時期，這期間出現了兩次西方數學傳播的高潮。

第一次是從17世紀初到18世紀初，標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。1606年，中國學者徐光啟(1562年—1633年)與意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci)合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，并于翌年(1607年)正式刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數學名詞“幾何”由此而來。

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。除了初等數學，這一時期還傳入了包括解析幾何、微積分、無窮級數論、概率論等近代數學知識。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成起了一定的作用，但由于當時整個社會環境與科學基礎的限制，總的來說其功效并不顯著。清末數學教育的改革仍以初等數學為主，即使在所謂“大學堂”中，數學教學的內容也沒有超出初等微積分的范圍，并且多半被轉化為傳統的語言來講授。中國現代數學的真正開拓，是在辛亥革命以后，興辦高等數學教育是重要標志。

文章來源：《科學時報》 記者：王學健 2002-08-20

媒體報道（三）：

CCTV百家講壇：相識數學4 ——二十世紀數學的發展趨勢 

演講人：李文林

講師簡介：中國科學院數學與系統科學研究院研究員，在中國算法、微積分與解析幾何史、希爾伯特問題等方面有深入研究，1992年當選國際數學史委員會委員，1995年4月起任《數學學報》常務副主編。

內容簡介：20世紀的數學，主要的是三塊，三大活動，一塊就是純粹數學的擴展，純粹數學也是叫做核心數學，上級也就是抽象數學；第二塊活動就是數學的空間的應用、應用數學的空前蓬勃發展；第三塊活動就是計算機跟數學的相互影響，這個三大活動構成了20世紀數學的主要線索，概括了20世紀數學的發展。

全文：

我想20世紀的數學，主要的是三塊，三大活動，一塊就是純粹數學的擴展，純粹數學也是叫做核心數學，上級也就是抽象數學，第二塊活動就是數學的空間的應用應用數學的空前蓬勃發展。第三塊活動就是計算機跟數學的相互影響,這個三大活動構成了20世紀數學的主要線索，我今天主要也就是按照這三大活動，來概括20世紀數學的發展，其中，我先講純粹數學。 　

純粹數學是19世紀的遺產，按照羅素，英國大數學家哲學家羅素的說法，就是說，19世紀，有一個可以跟蒸汽機的使用等等電氣的使用可以相提并論的一頂桂冠，就是說，純粹數學的發現，他認為，純粹數學主要是19世紀的產物20世紀，純粹數學得到了巨大的發展，純粹數學這個前沿在20世紀不斷的挺進而且，產生出很多令人驚異的成就。 　

比方說，我們大家都知道的哄動一時費馬大定理的證明，這是300多年了，一直在前幾個世紀都沒有解決，但是，20世紀解決了，還有四色定理也是有100多年的歷史都沒有解決，但是在20世紀被解決了。那么，其他大家可能有的聽得比較少的向連續統假設在某種意義上，在一定程度上，也在20世紀被解決了,還有很復雜的節是有限單群的分類定理，也是20世紀很大的成果等等，所以，20世紀引出來一系列很驚人的成果。 　

跟19世紀相比，20世紀純粹數學的發展，表現下面這樣一個特征跟趨勢。

也就是首先，就是說，更高的抽象化，第二個特征或者叫趨勢，更強的統一性，第三個趨勢是更深入地對基礎的探討。我后面兩個特征，實際上，本質上也是屬于抽象化，所以我今天重點還是談談20世紀純粹數學里面更高的抽象化這樣一個趨勢，那么，抽象化本來是數學的固定的特征，那么，20世紀的抽象化它跟以前的數學發展有什么不同呢？我想20世紀數學的抽象化主要是受了兩大因素的推動，一個就是集合論的觀點，還有一個是公理化的方法，這個是跟過去的時代是不一樣的。那么，集合論的觀點，我們知道，集合論本來是德國數學家康托，為了使得分析微積分嚴格化，而產生的這樣一個分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的數的集合，或者點的集合，那么，后來呢，經過其他數學家，比如說，法國的弗萊歇，他們把集合論加以發展， 發展成推廣成為任意元素，這個集合的元素可以是任意的對象這樣一個抽象的對象，就產生了一般的集合論，抽象的集合論，這個抽象的集合論，后來被發現，是數學各個領域的一個很有用的語言。它可以在數學各個領域里邊作為一種通用的語言來描述數學的一些定理，來建立一些概念。 　

另外一個是公理化方法，我剛才說，20世紀純粹數學抽象化趨勢受第二個推動的大的因素，公理化方法，德國數學家，20世紀也應該算是可以數在前頭的一位，赫爾曼外伊他說過這樣一句話，他在總結20世紀上半世紀數學發展的時候，他說過這樣一句話，他說，20世紀數學的一個十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的極度增長，以前他說，公理化僅僅是用來闡明我們所建立的理論的基礎。但是，現在，他卻成為具體數學研究的工具。這是赫爾曼外伊的一個看法。 　

那么，20世紀的公理化方法的奠基人是德國數學家希爾伯特，希爾伯特大家都可能知道他在1900年國際數學家巴黎大會上，提出23個數學問題，因為這

個很有名，但是，希爾伯特有很大的重大的貢獻，其中有一個就是他提出來，新的公理化方法，那么，公理化方法在歐幾里得幾何里面已經有了，在公元前三世紀就已經有了，整個系統是從公理定理開始，然后在這個基礎上，建立證明推導很多定理，這就是所謂歐幾里得的一個公理化系統，歐幾里得的公理系統里面有一條公設叫做第五公設就是平行公設，過直線外一點，能夠，而且只能作一條直線，跟已經知道的直線平行。這個公設在這個公理系統里面就顯得很特殊，幾千年，數學家們一直在問，這條公理，好像他們從直覺上感到跟其他的公理不一樣，他們就希望，就問能不能從其他的公理或者定理來證明這條公理，一兩千年這個問題沒有解決，可以說兩千年吧，一直到19世紀才有人發現這條公理是獨立的。也就是說你換成另外一個公理，把它歐幾里得公理全部保存，歐幾里得公理都保存，就把這一條平行公設改成過直線之外可以作不只一條直線，跟原來的直線相平行的話，你同樣可以推出一套數學幾何來。這套幾何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也沒有什么矛盾。那么這樣一來的話就使得歐幾里得幾何公理的體系就引起了人們的研究，就覺得歐幾里得幾何公理系統的邏輯結構，還不是很清楚。 　

那么，希爾伯特他經過了大量的研究以后，提出來一套公理化方法，他這個公理化方法，區別于歐幾里得的主要是兩點，第一點就是他提出來，對公理系統比較要提出邏輯要求，他提出來三條第一條這個公理系統，必須要符合一種叫相融性，或者叫無矛盾性。這什么意思呢？就是你這個公理系統里面的公理，不能夠相互矛盾。你從有些公理推出來一些相互矛盾的公理，當然從邏輯上，你這個公理系統就是不好的。就不行的。這是叫做相融性，或者叫做無矛盾性這是很自然的一個要求。 　

另外一個要求，他提出來這個公理系統，必須要符合一種叫做獨立性，也就是說這個公理系統里面不應該有多余的公理，什么叫多余的公理就是說像他們懷疑的說歐幾里得第五公設可以從別的公理推出來作為公理立在那兒就是多余的。所以，要把它去掉。但是后來他們發現證明了歐幾里得第五公里是獨立的它不能從其他公理推出來，因此它就可以作為一條公理，獨立地放在這個公理系統里面，所以這個公理系統的獨立性是他提出來的第二個要求。第三個要求就是公理系統不能缺少公理，少了公理，有些東西推不出來。這個叫做公理系統的完備性，他提出來公理系統的三條邏輯要求，就使得人們對公理系統的考察，有了邏輯根據，這個是對整個數學的嚴密性一個很大的貢獻。 　

他的公理第二個推動數學抽象化趨勢很大的特性，就是說，公理系統里面的對象，他研究的對象，是抽象的。不是像歐幾里得的幾何里面它這個公理系統的對象就是具體的點線面，那么他認為，這些公理系統的對象，本身的內容并不重要，重要的是這些對象，按照他的公理里刻劃的相互之間的一些關系，比如說，距離，或者是線段的大小，這樣一些東西的話，這些性質的話，他是要用公理來刻劃的這些性質關系是本質性的至于說這些對象本身是點也好，線也好，面也好，他說過一個笑話，一次在火車上，碰到另外一個數學家，人家問他，你的公理化系統是什么意思？能不能簡單地給我說一下，他開了一個玩笑，他說，你可以把點線面，換成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照樣符合這些公理，那么它照樣可以成為你這個公理系統的研究對象，這當然是一個笑話，大家聽起來會感到荒謬，但是，我往后面講到的時候，大家會感到這樣一種思想，增加了數學的抽象性，同時也提高了它的可用性。這是希爾伯特對數學公理化方法的特點。 　

那么這樣一個公理化的方法，跟康托集合論的觀點，經過發展的集合論的觀點，朝向的集合論的觀點結合起來，就推動了20世紀數學的抽象化趨勢，使得20世紀數學在更抽象的道路上，高度抽象的道路上發展，而且，產生了導致了四大抽象學科的誕生，這是跟過去的數學不一樣的學科。一個叫做實變函數論一個就是泛函分析，還有一個是抽象代數。第四個是拓撲學，這樣四大抽象學科的誕生，而這四大抽象學科，所產生的一些概念，方法，定理它們又滲透到數學已經有了其他的學科，像數論，是吧？實變函數論，代數，幾何，概率論，等等，微積分，很多其他的分支里面，就引起了這些分支的變革。那么這樣就形成了20世紀抽象數學一個很巨大的潮流。 　

我想我們還是按照我們經典之道的分析，跟代數還有幾何這么三個領域來看一看，我們比較熟悉的領域來看一看，20世紀純粹數學的發展，引起的概念上的一些變革。在分析領域里面，我想，20世紀開門紅的一個成果是叫做勒貝格積分。這是在1902年，當然它完成實際上是1901年就做出來了，1902年發表的，勒貝格，法國數學家，叫勒貝格積分理論。這個積分理論引起了積分概念的變化，這種變革表現在什么地方？ 　

就是說，過去在19世紀的積分，一般我們叫做黎曼積分，這個黎曼積分，我們學過微積分的就知道，他是把數，數軸橫軸上面就是函數的X軸上面的線段，積分區間把它分成很多小的區間，N個小區間，每個小區間取一個點，在

這個點上取函數值，這個函數值，跟區間的長度相乘，然后求它的和，然后，讓N趨向無窮的時候，你得到一個積分，定積分值，這個叫做黎曼積分，這是

這種積分就一個缺陷，就是它對一些非正常的或者我們叫怪異的一些函數，或者叫病態函數，當時的數學家把它們叫做病態函數，這個積分就沒法積，為什么？你在每一個區間上求一個點，求一個函數值讓它和要有極限的話這個函數不能太壞，如果這個函數在那兒蹦來蹦去的話，那你這個極限就會是不一樣的按照它的定理這個積分就不存在。 　

比如說我們舉一個通常知道的病態函數。在0跟1這個區間上在所有的有理數的點上，這個函數等于1。在所有的無理點上它等于零這個函數你就不可能

去按照黎曼函數給它積分這是一個病態函數。那么這個但是這些病態函數還有很多其他的病態函數，這些病態函數在數學家看來是病態的，但是，在物理學里面，很有用。所以它們的積分是數學家們關心的怎么樣把原來的積分概念推廣，使得它能夠適用于這些病態的函數，那么，勒貝格解決了這個問題。

他的想法反過來，把這個區間劃分開，不是劃分自變量，X軸的這個線段，而是把應變量函數值，取值的這樣一個值域，把這樣一個區間把它劃分。那么在值域上劃分的時候，大家可以想象它劃分出來在X軸上相應的自變量點的分布，可能會很亂。它不是一個線段，那么這個里面，怎么樣求這樣一些集合的長度呢？勒貝格積分的推廣是以推廣長度為基礎的，就是說我們知道長度，我們過去都是對線段，就是一個線段，連續的線段，我們可以量它的長度，定義它的長度，那么很多線段加起來那也可以定義它的長度，現在，勒貝格，在勒貝格之前，法國就有一些數學家，像波萊爾，他已經把長度的概念推廣了。滿足一定條件的集合我們可以定義它的長度，這個長度的定義是你原來的歐幾里得空間里面這樣一個線段的長度為基礎的。以它為基礎，來推廣對于某一種程度的集合，我可以定義它的長度。這個長度的概念，后來數學家們就把它叫做測度，比方我剛才說的有理點，在這個數軸上面是無窮多個。所以，有理點形成的集合它可不可以是測量它的長度？這個問題在過去的話你就沒法量，按照勒貝格之前，就波萊爾他們發展的推廣的長度的概念，就可以說，這個集合的測度，它的所謂的廣義的長度是0，而無理數的點也是無窮多個分布在數軸上面，在0跟1之間。比方說，無理數有好多個但是它不連續，任何一個區間里面都會有空檔，這個空檔就是有理數把它刨掉了，那么這個線段長短，按照過去經典長度概念，也是不能測量的但是現在有了測度概念以后，就是廣義的長度概念以后，可以說這樣一個集合，0跟1之間的無理數的集合的長度是等于1這樣的話他把長度的概念，就利用集合論的觀念，我剛才一開始說了，集合亂的觀點是很重要對于抽象化。他利用集合論的觀點，把長度的概念，從通常的歐幾里得長度推廣到更廣泛的集合上面去。 　

對于一些不連續的，很奇怪的一些看起來雜亂無章一些電視機集合可以去定義它的長度，這樣一來的話，積分的概念推廣就有了基礎，這樣的話，法國的數學家勒貝格就把積分的概念，給推廣了。推廣成我們現在叫做勒貝格積分,勒貝格積分就使得一些病態函數我們可以建立積分，而這些函數的積分我剛才講了，在物理學里邊很有用的。當然這種推廣，我想20世紀它是一個開門紅。

那么，勒貝格積分的話，我剛才講了，包括長度概念的推廣，跟積分概念的變革。而它們的變革又引起了導數還有函數概念一系列的變革。所以，建立了一門新的微積分，就是在這樣勒貝格積分的基礎上，建立起來的微積分叫做實變函數論，在實變函數之前出現的分析叫做古典分析，我們習慣上就把勒貝格積分以后的分析叫做現代分析。那么，它引起來的一個進一步的變革，想很重要的是函數概念的變化。 　

函數經典的定義，就是說，應變量和自變量之間的對應，一種對應關系，那么現在我們定義函數的時候，用所謂映射，映射的觀點，這個映射這個觀點可以說是函數概念的一種推廣，這個映射就是說，對應的關系可以不一定是數,它可以是一個集合有的抽象元素的集合，到另外一個集合的元素之間的對應關系。這一種對應關系就是一種映射我們現在叫映射，這個映射，實際上是函數概念的一種推廣。它使得這種對應關系，可以推廣到一個任意的抽象的集合上面去在代數領域，我想，它的變革，我想也是非常重要。而且我想這個變革也影響了整個數學的其他的分支的，這就是說我們代數學，在17世紀以前，或者說在19世紀以前，我們基本上是研究方程，解方程，或者是我們說是研究數跟數之間的運算，運算這種運算它關系有什么性質，比方滿足什么交換率，滿足結合律，分配律，我們研究這種性質，這是初等代數�；蛘哒f19世紀以前代數的主要內容，到了19世紀以后，由于法國數學家伽羅華，提出來群的概念，那么這個代數學就逐漸地發展，變成了討論不是數跟數之間的運算，而是一些抽象元素之間的一些運算的關系，而這些運算，符合一些性質，那么這些性質是用公理來描寫的這樣一個研究代數的方法，我們現在所謂代數結構，這是現在數學里邊用得非常廣泛的一個研究的方法，后來這個代理結構的研究方法，又被推到整個數學里邊，產生一般的數學結構，這就是法國數學家學派，一個數學家集體了，叫做布爾巴基學派，它把抽象代數里邊的這樣一個代數結構的觀點，引申到研究整個數學結構，一般的數學結構，他提出來，除了代數結構以外，還應該有拓撲結構。還應該有續結構。 　

就是發展到用一般的結構的觀點，來研究數學。 　

那么這個結構的觀點研究數學我想它的本質還在于它的公理和這個公理化方法引進到代數里面來，引起了整個代數的面目全非。20世紀面目全非，那么這套方法，作貢獻最大的是布爾伯特的一個學生，一個女數學家，叫艾米諾特,可能我們聽說過，她在哥庭根領導了一個代數學派，這個代數學派對我剛才講的說代數結構，抽象代數的發展，起了奠基性的作用。20世紀代數領域，它不再是研究具體的數之間的運算，跟他們的性質，而是研究一般的抽象的代數結構，這個代數結構什么意思？就是有一個集合這個集合里面有一些抽象的元素,這個元素里邊，定義了一種運算這種運算也可以類比成加法也好，類比成乘法也好，也可以定義幾個運算，但是這些運算之間要滿足一定的關系一定的性質這個性質是用公理來刻劃的用公理性質來刻劃的，這就是我們今天研究抽象代數的一個方法，我講起來大家可能會感到抽象但是它的用處是非常的廣泛，下面我就進入到比較容易講的幾何領域。 　

我們來看看幾何領域20世紀在一些基本觀念一些概念上有什么變革，我想歐幾里得幾何的這種絕對的空間觀念，用6個字來描寫，這個可能不太恰當，但是我想比較直觀，就是三維的，或者你在二維一維考慮的時候，那就不能超過三維，三維的平直的不能彎曲的剛性的，就是說你這個任意，你研究幾何學它的空間任意兩點距離你管怎么挪，它是不能動的不能變的，不能拉長也不能縮短。那么，我想，大概歐幾里得幾何大致上可以用這6個字來說。在實際應用，我剛才講了，非歐幾何，對歐幾里得的第五公設提出懷疑以后，提出來的非歐幾何的發展等等，已經把歐氏集合的框框已經開始打破了。 　

可以這么說，19世紀后來幾何學的發展，都是沿著非歐化的這個路線發展的一個是把三維突破成高維N維，我們歐氏幾何一般研究現實空間三維，那么

在19世紀已經突破到N維，研究高維的空間，那么，平直的這一點，我想狹義

的像羅巴契夫斯基幾何也好，羅巴契夫斯基幾何就是一個雙曲的一個彎曲的集合這個空間是彎曲的它不再是平直的所以，非歐幾何的發現，實際上把這一點也給打破了。 　

那么關于剛性，我想最簡單的例子就是攝影，攝影幾何它的發展，實際上攝影幾何兩點之間的距離是不再保持不變的，那么它是要變化的。但是我想對于剛性這一點，最大的突破，是在20世紀，我先講這個維數，在20世紀，我剛才說了19世紀幾何學從三維突破到N維，20世紀有沒有什么變化呢？20世紀我

想我們的幾何空間，已經從兩個方向突破，一個是產生了無窮維的幾何這個無窮維空間，就是在剛剛說的分析的變革上引起的。就是我剛才說的函數，這個集合，實際上是一個把每一個函數看成一個點的話那么它是一個集合，這個集合可以看成一個空間，那么，其中有一函數的空間，它實際上是無窮維的它的維度，如果你一定要用維數的觀點來刻劃它的話，它是無窮維的。 　

我舉一個例子，這個無窮維空間的概念，是希爾伯特剛才講的公理化方法的發明人，希爾伯特提出來的。他在研究積分方程的時候，提出來，就是由無窮多個實數組成了一個組，A1A2一直到AN，一直到無窮，這樣一個每一個AN都是一個實數，這樣無窮多個實數放在一起，它看成一個元素，看成一個組，一個元素，那么所有這樣的元素的集合，它在這個集合上面定義了一些運算，定義了運算以后，他認為構成一個空間，把每一個這樣的元素看成一個點構成一個空間，這個空間的維數是無窮維的所以，希爾伯特這個無窮多個實數構成的集合的全體是第一個無窮維的一個空間的一個例子。那么所以后來他的學生就把這樣的空間叫做希爾伯特空間，希爾伯特空間在20世紀物理學數學里面，到處都在用。無窮維這是無窮維。 　

后來，實變函數的發現就發現這個函數空間，就是剛才不是講勒貝格嗎？所有的平方所有的函數如果把它平方以后，能夠求勒貝格積分的所有這樣函數的全體，跟剛才講的無窮實數組這樣一個全體的集合是等價的是可以一一對應的。也就是說所有這樣的函數的全集，構成的一個集合可以看成一個無窮維的空間這樣的話就把空間的概念，從有限維N維推廣到了無窮維這是一個方向。

另外一個方向突破的維度概念取得突破的是20世紀后半葉發現了分數維。就是說，空間的維數不盡可以是有限的維，不光三維，可以是N維，高維這在

19世紀就已經知道了。那么到了20世紀還可以有無窮維，現在，數學家們發現,空間的概念還可以推廣到分數維，關于分數維這個空間的幾何，就叫分形幾何這完全是20世紀新建的一門幾何學。 　

在20世紀，我想拓撲學，這樣一個新的學科，就剛才我講的四大抽象學科當中的一門，它實際上是對剛性歐幾里得集合里面空間里面剛性原則一個最大的突破，那么經過這樣一種變革，空間，概念本身，就發生了很重要的變革。就是現在20世紀數學家我們現在的數學家心目當中的空間，它是一種抽象的結構，就是我剛才講的一種結構，也就是說空間是一些集合，是一些元素的集合這些元素是抽象的它是什么我不管它，而這些元素之間有一些關系，這些關系是用公理來刻劃的。這些例子就說明20世紀數學抽象的趨勢，高度抽象的趨勢。 　

那么數學這種抽象的性質是跟它的另外一個特寫，所謂廣泛的使用性，多用性是緊密相聯系的。數學它正因為它有它的高度的抽象性，所以，它才有它廣泛的實用性，數學的廣泛的用處正是從它抽象的特性來的20世紀數學高度抽象化的發展，說明了它數學這種抽象化的特征，跟它的廣泛的實用性特性之間的聯系是比以往任何時代都更加密切。更加深刻。也更加復雜。更加奇妙。那么在20世紀數學的應用跟以前的時代有什么不一樣的呢？我想主要也是表現在三個方面。 　

第一個方面就是數學的應用它突破了傳統的范圍，像人類幾乎所有的知識領域滲透。那我現在，我只要舉一下在20世紀發展起來的一些的數學應用到其他的學科里邊產生的邊緣分支，我想就能說明問題，20世紀我可以列舉出來的交叉的分支有像數學物理，這是物理，數學在物理里面的應用，還有我們有數理化學，化學里邊現在用的不是簡單的一元二次方程，而是很復雜的微分方程,還有很多是數學家本身都沒有辦法，感到束手無策的非線性微分方程。還有數理氣象學，現在的氣象預報也是建立在數學的基礎上的。我想大概如果沒有數值分析的話我們現在不可能有這么精密的天氣預報。 　

剩下來還有數理考古學，我們現在考古也用到很多數學。第二個特點我說,純粹數學幾乎所有的分支都獲得了應用，我說這是雙向的剛才說的是數學幾乎向所有的科學技術或者人類的知識領域滲透，第一個方面，數學的幾乎所有的分支都參與了這種滲透至于它最抽象的部分，比如剛才說的抽象代數，我剛才就沒有能夠再深入地往下面講，抽象代數的確是非常抽象，但是它在20世紀找到了它的應用，抽象的群論跟抽象代數在物理學里面，我在我們描寫自然界的對成現象里面，是有廣泛的用途的。那么，我說最抽象的領域除了群論，還有像數論，數論，就是研究自然數的性質，我們的哥德赫特猜想就是這樣一個數論問題。那么這個數論有什么用呢？是不是光是自然數之間的一種游戲呢？智力難題呢？不是的。 　

數論所以它在現代的編碼理論里面有非常重要的應用，另外還有就是拓撲學，就是所謂的橡皮泥集合，它是有很具體的應用，比如在生物學里面，有我剛才沒有講的就是說，我們在50年代發現了生物的高分子結構，是一種螺旋結構，雙螺旋結構就是它的較分子是兩個分子鏈在里面相互纏繞，這叫雙螺旋結構，那么，從數學來講，就是兩個封閉的曲線，或者叫無窮的曲線它怎么相互傳導，這種正好在拓撲學里面有個分支叫做紐結理論，就是專門來研究繩結的理論的。兩根繩子，或者幾根繩子相互纏繞，打結，那么它纏繞的情況不一樣就會影響到分子生物學的特性所以它就很重要，這個正好拓撲學里面有一個分支叫做紐結理論就是專門研究這種東西的。那么所以，后來有一些數學家也參與了就是說，用紐結論的方法來計算高分子鏈就相當于兩根曲線，它們相互纏繞的所謂纏繞數，這樣一些拓撲學的指標，那么，得到了這些數字，就可以對高分子的結構，有一些認識。從而也就可以對高分子的性質有一些認識，這就是非常抽象拓撲學在生物學里面也是有廣泛的應用的。 　

這是就我說的純粹數學，幾乎所有的分支都獲得了應用。包括一些最抽象的分支。 　

第三個，就是說，20世紀數學空間廣泛應用的特點就是說，現代數學對生產技術的應用便的越來越直接，我說的是直接，我剛才講了，數學的應用，有的時候要拐彎抹角的，是曲折的不一定說你今天發明了明天就有用，那么這種應用呢？在20世紀，應用的頻率跟周期是越來越短，應該承認這一點。就是說,比方說我舉幾個例子，剛才講的拉東積分它很快地就被用到了CT掃描儀里面，那么我想還有小波分析，也是近代最近多少年在調和分析基礎上發明起來的，它集合一發明，人們就發現，小波分析在通訊，還有計算機圖象壓縮，什么這些里邊有很重要的應用，它是一種分析，數據分析，還有在石油勘探里面也有廣泛的應用。那么，我這兒就是說幾個對比，來說明數學應用周期的縮短，當然這個例子大家可以舉出說，你這個可能會有很多反應，但是我想多多少少能說明問題我說一下 　

我們知道，圓錐曲線是在公元前4世紀，希臘人就已經發明了，圓錐曲線，橢圓，雙曲線，拋物線，但是，這個圓錐曲線在2000年當中，應該說是沒有什么太多的用處。沒有什么太多用處的它的最重要的應用是到了17世紀，開普勒發現了行星的運動規律，三大定律，就發現行星運動的軌道是橢圓，也就是說是橢圓曲線當中的一種是橢圓。那么后來，牛頓從數學上證明了在這樣一個引力的定律之下，在他的牛頓三大力學的定律之下，退出來的行星的軌道，必然是一個橢圓，而且對橢圓曲線用微積分的辦法做了很多研究，所以，橢圓曲線一直到2000年以后，應該說才知道找到了它的重要的應用。 　

那么非歐幾何是1830年左右發明的。就算用到廣義相對論里面是1915年差不多一個世紀不到。而麥克斯韋方程，我們知道是1864年發明的，1864年英國數學家，物理學家，發現了描寫電磁波理論的麥克斯韋方程，根據這個方程，他預報，有一種波存在就是電磁波，電磁波當時是不存在的不知道。那么，麥克斯韋是根據他這一套抽象的數學方程預報，預言我們自然界存在這樣一種看不見的電磁波，到了1895年，這個中間不到半個世紀就30年多一點吧，這個馬可尼跟波波夫，當然他們之間有一些爭論，到底誰是發明人，但是，差不多時候吧1895年，他們發明了第一個無線電報，就是真正找到了麥克斯韋根據他的數學方程預言的這樣一個電磁波而且把它變成了無線電報，這中間是30多年。

還有剛才講的無窮維的希爾伯特空間理論，用到量子力學跟光譜理論里面,我們知道，希爾伯特空間理論是1912年提出來的，量子力學的完成是1927年，這也是很快就找到應用這么抽象的東西，拉東積分是1913年我剛才講的用到CT掃描里面是1963年到1969年，我想，大概數學在實際當中的應用，這個生產當

中的應用它會越來越直接。頻率會越來越快，這個我想是一個趨勢。還有最后一個特性，數學在向外滲透過程當中，產生一些相對獨立的應用學科這些學科它并不是像生物數學，數學物理一樣，數學光是應用到物理里邊，光是應用到生物里邊這種獨立的學科，比方有數理統計，運籌學，控制論，可以舉出一些來，剛剛講的這三個是最重要的。那么這些學科它有自己獨立的方法，數學方法，它應用的范圍也不光是一個學科它可以比較廣泛。 　

那么這三個學科的發展我就具體不講，這個沒有時間講，我特別講講控制論，控制論是在二次大戰的時候，為了解決打飛機，這樣一個問題，用高射炮,或者我們今天就是導彈打飛機，我們知道飛機在天上飛，我們可以算它的位置,但是我算出它某一個時刻，T時刻的位置以后，比方T1時刻的位置，我地上的

炮彈或者導彈，我不能就打一個炮彈，打到T1這個位置，這個飛機還在往前動,所以我需要預報預測這個飛機的位置。在下幾個時刻的位置，然后使得我的炮彈調整一個發射的角度，使得我們炮彈跟飛機在某一個時刻能夠在天上同一個地點，同一個位置上面相遇，這樣才能打到它。這個所謂預報問題成為控制論的一個主要來源。它的主要發明人奠基人是美國數學家維納，諾伯特維納。

今天這個控制論用處就非常廣泛了，講到控制論，我想中國人也有貢獻的�？刂普摰膭摌I，就是說，維納他在創立控制論前夕，在中國，1936年，呆過一年，在清華大學。他后來寫了一本自傳，他把他在清華大學呆的這一天，說成是對他的控制論的創造有非常重要作用的一年，這一年當中，他跟很多中國數學家交談過，也跟其中一個中國的工程師，叫做李郁榮他們密切或作，后來第二次世界大戰以后，李郁榮因為在上海他非常困難，抗戰的時候，維納又把他請到德國，在麻省理工學院做教授。他應該說在控制論的發明當中，也起了一些作用，我剛才講的是數學的空前的廣泛的應用。在20世紀一個很重要的四大特點。